1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
|
% do-vimlatex-onwrite
\documentclass[]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[alsoload=hep]{siunitx} % high energy physics
\usepackage[slovene]{babel}
\usepackage[inline]{enumitem}
\usepackage[a4paper]{geometry}
\usepackage{hologo}
\usepackage[hidelinks,unicode]{hyperref}
\usepackage{datetime}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{multicol}
\usepackage{listings}
\usepackage{xcolor}
\usepackage{csquotes}
\usepackage[makeroom]{cancel}
\sisetup{output-decimal-marker = {,}, quotient-mode=fraction, output-exponent-marker=\ensuremath{\mathrm{e}}} % per-mode=fraction/symbol
\settimeformat{hhmmsstime}
\makeatletter
\newcommand{\xslalph}[1]{\expandafter\@xslalph\csname c@#1\endcsname}
\newcommand{\@xslalph}[1]{%
\ifcase#1\or a\or b\or c\or \v{c}\or d\or e\or f\or g\or h\or i%
\or j\or k\or l\or m\or n\or o\or p\or r\or s\or \v{s}%
\or t\or u\or v\or z\or \v{z}
\else\@ctrerr\fi%
}
\AddEnumerateCounter{\xslalph}{\@xslalph}{m}
\makeatother
\definecolor{codegreen}{rgb}{0,0.6,0}
\definecolor{codegray}{rgb}{0.5,0.5,0.5}
\definecolor{codepurple}{rgb}{0.58,0,0.82}
\definecolor{backcolour}{rgb}{0.95,0.95,0.92}
\lstdefinestyle{mystyle}{
backgroundcolor=\color{backcolour},
commentstyle=\color{codegreen},
keywordstyle=\color{magenta},
numberstyle=\tiny\color{codegray},
stringstyle=\color{codepurple},
basicstyle=\ttfamily\footnotesize,
breakatwhitespace=false,
breaklines=true,
captionpos=b,
keepspaces=true,
numbers=left,
numbersep=5pt,
showspaces=false,
showstringspaces=false,
showtabs=false,
tabsize=2
}
\lstset{style=mystyle}
\newcommand{\cm}[1]{
\SI[parse-numbers=false]{#1}{\centi\meter}
}
\newcommand{\m}[1]{
\SI[parse-numbers=false]{#1}{\meter}
}
\newcommand{\kvm}[1]{
\SI[parse-numbers=false]{#1}{\meter\squared}
}
\newcommand{\kvcm}[1]{
\SI[parse-numbers=false]{#1}{\centi\meter\squared}
}
\title{Projektna naloga: Magnetno polje Helmholtzove tuljave}
\author{Anton Luka Šijanec, 3. a}
\date{V osmek, 32. februarja 201}
\newcommand\vektor{\overrightarrow}
\begin{document}
\maketitle
\begin{abstract}
Merjenje magnetnega polja Helmholtzove tuljave vzdolž dveh geometrijskih osi in primerjava rezultatov s teoretično napovedjo pri fiziki na Gimnaziji Bežigrad.
\end{abstract}
\tableofcontents
\section{Uvod}
Helmholtzova tuljava oziroma Helmholtzov par je poimenovana po nemškemu fiziku devetnajstega stoletja Hermannu Ludwigu Ferdinandu von Helmholtzu in predstavlja pripravo za izdelavo umetnega lahko dostopnega homogenega magnetnega polja visoke kvalitete. Solenoidi, torej dolge in ozke tuljave, pod električnim poljem sicer delajo kvalitetno, z vstavljenim feromagnetom tudi močno magnetno polje, vendar je le-to težko dostopno, saj se nahaja znotraj navojev. Helmholtzova tuljava pa je sestavljena iz dveh tokovnih zank oziroma magnetnih dipolov, to sta dve ravninsko vzporedni enaki kratki in široki med seboj za polmer oddaljeni tuljavi. Ob prisotnosti enako velikega in enako usmerjenega električnega toka v vodnikih se v sredini med njima pojavi veliko območje s homogenim magnetnim poljem, kar je uporabno za mnoge elektrotehnične probleme, denimo natančno kalibracijo merilnikov in nasprotovanje vplivu Zemljinega magnetnega polja na instrumente.
Maxwellova tuljava škotskega fizika James Clerk Maxwell je dodatek Helmholtzovi tuljavi. Z dodatnimi pravilno postavljenimi navitji za ceno dodatnega materiala in kompleksnosti dodatno poveča območje in homogenost magnetnega polja.
\section{Teorija}
Navodilo zahteva meritev in teoretično napoved vrednosti magnetnega polja na oseh tuljave. Če je radij $R$, število navojev $n$ in tok $I$, je jakost magnetnega polja $B$ na sredini
$$B=\left(\frac{4}{5}\right)^{3/2}\frac{\mu_0nI}{R}\text{,}$$
kjer je $\mu_0$ indukcijska/magnetna konstanta.
($\SI{\pi4e-7}{\volt\second\per\ampere\per\meter}$).
\subsection{Razlaga enačbe}
\subsubsection{Biot-Savartov zakon}
Z Biot-Savartovim zakonom predstavimo vektor $B$ magnetnega polja, ki se pojavi zaradi stalnega električnega polja $I$ v vodniku na poti $C$. Predstavi relacijo magnetnega polja na jakost, smer, dolžino in bližino električnega toka z enačbo
$$B(r)=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_C\frac{Id\ell\times\hat{r}^\prime}{{|r^\prime|}^2}\text{,}$$
kjer je $d\ell$ vektor na poti elektronov $C$, čigar velikost je infinitezimalno majhen del vodnika v smeri električnega toka, $\ell$ je torej točka na $C$, $\hat{r}^\prime$ je enotski vektor (množen z obratno vrednostjo svoje velikosti --- $\hat{r}^\prime=r^\prime\cdot{|r^\prime|}^{-1}$) vektorja $r^\prime=r-\ell$ --- vektorja premika od vodnika ($d\ell$ oz. $\ell$) do točke $r$, katere vektor magnetnega polja želimo izračunati. Od prej je $\mu_0$ še vedno indukcijska/magnetna konstanta.
Čeprav se zakon povečini, kot v našem primeru, uporablja na zankah, v katerih teče električni tok, velja tudi za neskončno dolge vodnike. Na tak način je bil z Biot-Savartovim in Lorentzovim zakonom na primer do leta 2019 SI amper definiran kot konstantani tok, ki v vakuumu, ko teče po dveh eden od drugega za en meter oddaljenih vzporednih vodnikih neskončne dolžine z zanemarljivim premerom, povzroči nastanek sile $\SI{2e-7}{\newton}$ na vsak meter dolžine vodnika.
% \subsection{Polje v središču zanke} % TODO
\subsubsection{Polje na osi zanke}
% http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/magnetic/curloo.html#c4
Biot-Savartov zakon poenostavimo in izračunamo vektorja $B$ za na osi zanke s polmerom $R$ vodnika, po katerem teče tok $I$, poljubno točko $T$, oddaljeno $z$ od središča zanke $S$.
Zanima nas samo z osjo vzporedna komponenta $B_z$ vektorja magnetnega polja, ker na os pravokotne komponente v homogenem polju sploh ne bo, ko bomo računali jakost polja znotraj Helmholtzove tuljave.
Kot med na os pravokotno in z osjo vzporedno komponento vektorja $B$ je enak kotu $(\ell,T,S)$. Torej je
$$\sin\theta=\frac{R}{r = \sqrt{z^2+R^2}} \wedge dB_Z=dB\sin\theta \Longrightarrow dB_Z=\frac{\mu_0Id\ell}{4\pi}\cdot\frac{R}{\left(z^2+R^2\right)^{3/2}}\text{.}$$
% http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/magnetic/curloo.html#c3
Vse vrednosti, razen infinitezimale dolžine na zanki $d\ell$, so konstantne, integriranje $d\ell$ pa predstavlja obseg zanke $2\pi R$. Tako je velikost z osjo zanke vzporedne komponente vektorja magnetenega polja v točki $T$ izračunana z enačbo
$$B_Z=\frac{\mu_0I}{\cancelto{2}{4\pi}}\cdot\frac{\cancel{2\pi}R^2}{\left(z^2+R^2\right)^{3/2}}\text{.}$$
Ker so vse točke $d\ell$ na zanki enako oddaljene od točke $T$, je za točke $z$ na osi tuljav $B_Z(z)=B(z)$.
\subsubsection{Dodajanje zank}
Da dobimo enačbo za polje enega navitja Helmholtzove tuljave, enačbo za eno zanko preprosto zmnožimo s številom zank $n$:
$$B_1(z)=\frac{n\mu_0R^2I}{{2\left(z^2+R^2\right)}^{3/2}}\text{.}$$
Zanima nas taka vrednost $z$, ki je v središču med obema navitjema. To je, kot je zgoraj opisano, $z=R/2$:
$$B_1\left(\frac{R}{2}\right)=\frac{n\mu_0R^2I}{2\left(\left(\frac{R}{2}\right)^2+R^2\right)^{3/2}}\text{.}$$
Jakost magnetnega polja med obema simetričnima navitjima je dvakratniku $B_1$.
$$B\left(\frac{R}{2}\right)=2{B_1}_Z\left(\frac{R}{2}\right)=$$
$$=\frac{\cancel{2}n\mu_0R^2I}{\cancel{2}\left(\left(\frac{R}{2}\right)^2+R^2\right)^{3/2}}
=\frac{n\mu_0R^2I}{\left(\frac{1}{4}R^2+R^2\right)^{3/2}=\left(\frac{5}{4}R^2\right)^{3/2}}
=\left(\frac{4}{5}\right)^{3/2}\frac{n\mu_0\cancel{R^2}I}{R\cancel{^3}}
=\left(\frac{8}{5\sqrt{5}}\right)\frac{n\mu I}{R}\text{.}$$
\subsection{Potreben tok za dosego željenega homogenega toka}
Zgornjo enačbo preuredimo v
$$I=\left(\frac{5}{4}\right)^{3/2}\left(\frac{BR}{\mu_0n}\right)\text{,}$$
kjer je $\mu_0$ malo drugače zapisana ista indukcijska/magnetna konstanta ($=\SI{\pi4e-7}{\tesla\meter\per\ampere}$), in s tem izračunamo potreben tok za stalno homogeno magnetno polje v središču tuljave.
% \subsection{Izmenična napetost} % TODO
% Napajanje tuljave za dosego željenega stalnega magnetnega polja je torej preprosto, saj bo magnetno polje v vseh točkah linearno raslo s tokom skozi obe tuljavi, malo težje pa je izdelati nihajoče magnetno polje, saj je tuljava induktor, čigar impedanca se z višanjem frekvence veča, torej je za dosego enake jakosti magnetnega polja na dvakrat višji frekvenci potrebna dvakrat višja napetost na navitjih.
\section{Koncept poizkusa}
% https://sl.wikipedia.org/wiki/Hallov_pojav
% https://en.wikipedia.org/wiki/Hall_effect
Za izdelavo modela si moram najprej teoretično vse opisati, da lahko kupim ustrezen merilnik magnetnega polja. Merilnik magnetnega polja deluje po principu Hallovega pojava, torej padca električne napetosti na vodniku, po katerem teče električni tok, ko je vodnik v magnetnem polju. Niso vsi merilniki univerzalni --- potrebujem takega, ki bo zmožen natančno izmeriti polje v vsaki točki izdelane tuljave.
% https://www.conrad.si/o/lakirana-bakrena-zica-2510140
Glavni omejevalni pogoj je žica oziroma električni vodnik, ki bo uporabljen za navitje. Vodnik mora biti izoliran z lakom, kar omogoča tesno navijanje in obenem dobro izolacijo. Ključna podatka izbrane žice sta
\begin{itemize}
\item dolžina \SI{109}{\meter} (za vsako navitje)
\item omejitev toka \SI{0,7}{\ampere}.
\end{itemize}
% o = n 2 \pi R
% R = o/(n2\pi)
Če torej za $n$ vzamemo 150 navojev, bo polmer vsakega navitja $R=\SI{109}{\meter}/(150\cdot2\pi)\widetilde=\SI{11}{\centi\meter}$, jakost homogenega magnetnega polja pa bo ob toku $\SI{0,6}{\ampere}$ (maksimalen tok je $\SI{0,7}{\ampere}$) približno $\SI{7e-6}{\tesla}=\SI{7e-2}{\gauss}$. To je manj od magnetnega polja Zemlje, ki je nekje $\SI{30}{\micro\tesla}=\SI{3e-5}{\tesla}$.
\section{Zaključek}
% https://en.wikipedia.org/wiki/Helmholtz_coil
% http://lbm.fe.uni-lj.si/oe/OE2/LabVaja/Priprave%20za%201VAJO%20OE2%20V2.docx
% https://en.wikipedia.org/wiki/Biot%E2%80%93Savart_law
% https://sl.wikipedia.org/wiki/Infinitezimala
% https://sl.wikipedia.org/wiki/Hermann_Ludwig_Ferdinand_von_Helmholtz
% https://en.wikipedia.org/wiki/Lorentz_force
% http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/magnetic/Biosav.html#c1
% https://en.wikipedia.org/wiki/Ampere#Former_definition_in_the_SI
\end{document}
|
