#LyX 2.4 created this file. For more info see https://www.lyx.org/
\lyxformat 620
\begin_document
\begin_header
\save_transient_properties true
\origin unavailable
\textclass article
\begin_preamble
\usepackage{hyperref}
\usepackage{siunitx}
\usepackage{pgfplots}
\usepackage{listings}
\usepackage{multicol}
\sisetup{output-decimal-marker = {,}, quotient-mode=fraction, output-exponent-marker=\ensuremath{\mathrm{3}}}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{tikz}
\newcommand{\udensdash}[1]{%
\tikz[baseline=(todotted.base)]{
\node[inner sep=1pt,outer sep=0pt] (todotted) {#1};
\draw[densely dashed] (todotted.south west) -- (todotted.south east);
}%
}%
\DeclareMathOperator{\Lin}{Lin}
\DeclareMathOperator{\rang}{rang}
\DeclareMathOperator{\sled}{sled}
\DeclareMathOperator{\Aut}{Aut}
\DeclareMathOperator{\red}{red}
\DeclareMathOperator{\karakteristika}{char}
\usepackage{algorithm,algpseudocode}
\providecommand{\corollaryname}{Posledica}
\end_preamble
\use_default_options true
\begin_modules
enumitem
theorems-ams
\end_modules
\maintain_unincluded_children no
\language slovene
\language_package default
\inputencoding auto-legacy
\fontencoding auto
\font_roman "default" "default"
\font_sans "default" "default"
\font_typewriter "default" "default"
\font_math "auto" "auto"
\font_default_family default
\use_non_tex_fonts false
\font_sc false
\font_roman_osf false
\font_sans_osf false
\font_typewriter_osf false
\font_sf_scale 100 100
\font_tt_scale 100 100
\use_microtype false
\use_dash_ligatures true
\graphics default
\default_output_format default
\output_sync 0
\bibtex_command default
\index_command default
\paperfontsize default
\spacing single
\use_hyperref false
\papersize default
\use_geometry true
\use_package amsmath 1
\use_package amssymb 1
\use_package cancel 1
\use_package esint 1
\use_package mathdots 1
\use_package mathtools 1
\use_package mhchem 1
\use_package stackrel 1
\use_package stmaryrd 1
\use_package undertilde 1
\cite_engine basic
\cite_engine_type default
\biblio_style plain
\use_bibtopic false
\use_indices false
\paperorientation portrait
\suppress_date false
\justification false
\use_refstyle 1
\use_formatted_ref 0
\use_minted 0
\use_lineno 0
\index Index
\shortcut idx
\color #008000
\end_index
\leftmargin 2cm
\topmargin 2cm
\rightmargin 2cm
\bottommargin 2cm
\headheight 2cm
\headsep 2cm
\footskip 1cm
\secnumdepth 3
\tocdepth 3
\paragraph_separation indent
\paragraph_indentation default
\is_math_indent 0
\math_numbering_side default
\quotes_style german
\dynamic_quotes 0
\papercolumns 1
\papersides 1
\paperpagestyle default
\tablestyle default
\tracking_changes false
\output_changes false
\change_bars false
\postpone_fragile_content false
\html_math_output 0
\html_css_as_file 0
\html_be_strict false
\docbook_table_output 0
\docbook_mathml_prefix 1
\end_header
\begin_body
\begin_layout Title
ANA2 IŠRM 2023/24
\end_layout
\begin_layout Author
\noun on
Anton Luka Šijanec
\end_layout
\begin_layout Date
\begin_inset ERT
status open
\begin_layout Plain Layout
\backslash
today
\end_layout
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Section
Množice v
\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{n}$
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Definition*
Razdalja točk v
\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{n}$
\end_inset
je norma njune razlike.
\begin_inset Formula $\varepsilon-$
\end_inset
okolica točke
\begin_inset Formula $a\in\mathbb{R}^{n}$
\end_inset
so take točke,
ki so od
\begin_inset Formula $a$
\end_inset
oddaljene manj od
\begin_inset Formula $\varepsilon\in\mathbb{R}$
\end_inset
.
Robna točka množice
\begin_inset Formula $A$
\end_inset
je taka točka,
katere poljubno majhna okolica vsebuje tako točke iz
\begin_inset Formula $A$
\end_inset
kot tudi točke,
ki niso iz
\begin_inset Formula $A$
\end_inset
.
Odprta množica ne vsebuje robnih točk.
Zaprta množica je komplement neke odprte množice.
\end_layout
\begin_layout Claim*
\begin_inset Formula $A\subset\mathbb{R}$
\end_inset
zaprta
\begin_inset Formula $\Leftrightarrow$
\end_inset
za vsako zaporedje s členi v
\begin_inset Formula $A$
\end_inset
velja,
da so vsa njegova stekališča,
čim obstajajo,
v
\begin_inset Formula $A$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Proof
Dokazujemo ekvivalenco
\end_layout
\begin_deeper
\begin_layout Description
\begin_inset Formula $\left(\Rightarrow\right)$
\end_inset
Naj bo
\begin_inset Formula $s$
\end_inset
stekališče
\begin_inset Formula $\left(a_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}$
\end_inset
,
\begin_inset Formula $a_{n}\in A$
\end_inset
in
\begin_inset Formula $s\not\in A$
\end_inset
(RAAPDD).
Ker je
\begin_inset Formula $A$
\end_inset
zaprta,
je
\begin_inset Formula $\mathbb{R}\setminus A$
\end_inset
odprta,
zato
\begin_inset Formula $\exists\varepsilon>0\ni:\left(s-\varepsilon,s+\varepsilon\right)\subset\mathbb{R}\setminus A$
\end_inset
,
torej v
\begin_inset Formula $\left(s-\varepsilon,s+\varepsilon\right)$
\end_inset
ni nobenega člena zaporedja,
torej
\begin_inset Formula $s$
\end_inset
ni stekališče
\begin_inset Formula $\rightarrow\!\leftarrow$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Description
\begin_inset Formula $\left(\Leftarrow\right)$
\end_inset
Dokazujemo,
da je
\begin_inset Formula $A$
\end_inset
zaprta,
torej,
da je
\begin_inset Formula $B=\mathbb{R}\setminus A$
\end_inset
odprta.
PDDRAA
\begin_inset Formula $B$
\end_inset
ni odprta
\begin_inset Formula $\Rightarrow\exists x\in B\ni:\forall n\in\mathbb{N}:$
\end_inset
\begin_inset Formula $n^{-1}-$
\end_inset
okolica
\begin_inset Formula $x$
\end_inset
vsebuje nek element
\begin_inset Formula $A$
\end_inset
.
Našli smo torej zaporedje v
\begin_inset Formula $A$
\end_inset
s stekališčem v
\begin_inset Formula $B$
\end_inset
.
\begin_inset Formula $\rightarrow\!\leftarrow$
\end_inset
.
\end_layout
\end_deeper
\begin_layout Definition*
Stroga podmnožica
\begin_inset Formula $\mathbb{R}$
\end_inset
je kompaktna,
če ima vsako zaporedje s členi v njej v njej tudi stekališče.
Množica je omejena,
če je podmnožica neke okolice izhodišča.
\end_layout
\begin_layout Theorem*
\begin_inset Formula $A\subset\mathbb{R}$
\end_inset
kompaktna
\begin_inset Formula $\Leftrightarrow A$
\end_inset
zaprta in omejena.
\end_layout
\begin_layout Proof
Dokazujemo ekvivalenco
\end_layout
\begin_deeper
\begin_layout Labeling
\labelwidthstring 00.00.0000
\begin_inset Formula $\left(\Leftarrow\right)$
\end_inset
Naj bo
\begin_inset Formula $\left(a_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}$
\end_inset
zaporedje v
\begin_inset Formula $A$
\end_inset
.
Ker je
\begin_inset Formula $A$
\end_inset
omejena,
je zaporedje omejeno,
torej premore stekališča.
Ker je
\begin_inset Formula $A$
\end_inset
zaprta,
vsebuje vsa ta stekališča.
Torej je
\begin_inset Formula $A$
\end_inset
kompaktna.
\end_layout
\begin_layout Labeling
\labelwidthstring 00.00.0000
\begin_inset Formula $\left(\Rightarrow\right)$
\end_inset
\begin_inset Formula $A$
\end_inset
je omejeno,
sicer bi našli zaporedje,
da velja
\begin_inset Formula $a_{i}\geq i$
\end_inset
,
ki nima stekališča.
Treba je dokazati še,
da je
\begin_inset Formula $A$
\end_inset
zaprta.
Vsa stekališča zaporedij s členi v
\begin_inset Formula $A$
\end_inset
imajo v
\begin_inset Formula $A$
\end_inset
stekališče (kompaktnost).
Torej za vsako stekališče zaporedja s členi v
\begin_inset Formula $A$
\end_inset
velja,
da ima v
\begin_inset Formula $A$
\end_inset
stekališče,
torej je
\begin_inset Formula $A$
\end_inset
zaprta.
\end_layout
\end_deeper
\begin_layout Remark*
Vsako zaporedje v kompaktni množici ima stekališče,
kar za zaprto množico ni rečeno.
Zaprta množica lahko vsebuje zaporedja brez stekališč.
\begin_inset Note Note
status open
\begin_layout Plain Layout
razloži normo,
trikotniško neenakost,
itd.
\end_layout
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Definition*
Točka
\begin_inset Formula $a\in A\subseteq\mathbb{R}^{n}$
\end_inset
je notranja,
če obstaja neka njena okolica,
ki je podmnožica
\begin_inset Formula $A$
\end_inset
.
Točka
\begin_inset Formula $a\in\mathbb{R}^{n}$
\end_inset
je stekališče množice
\begin_inset Formula $A$
\end_inset
,
če vsaka njena okolica seka
\begin_inset Foot
status open
\begin_layout Plain Layout
t.
j.
ima neprazen presek z
\end_layout
\end_inset
\begin_inset Formula $A\setminus\left\{ a\right\} $
\end_inset
.
Točka
\begin_inset Formula $a\in A$
\end_inset
,
ki ni stekališče
\begin_inset Formula $A$
\end_inset
,
je izolirana točka
\begin_inset Formula $A$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Standard
\begin_inset Separator plain
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Definition*
Zaporedje s členi v
\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{k}$
\end_inset
je funkcija
\begin_inset Formula $\mathbb{N}\to\mathbb{R}^{k}$
\end_inset
,
\begin_inset Formula $n\mapsto a_{n}=\left(a_{n}^{\left(1\right)},\dots,a_{n}^{\left(k\right)}\right)$
\end_inset
.
\begin_inset Formula $a\in\mathbb{R}^{k}$
\end_inset
je limita zaporedja
\begin_inset Formula $\left(a_{n}\right)_{n}$
\end_inset
s členi v
\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{k}$
\end_inset
,
če
\begin_inset Formula $\forall\varepsilon>0\exists n_{0}\in\mathbb{N}\forall n>n_{0}:\left|a-a_{n}\right|<\varepsilon$
\end_inset
in pišemo
\begin_inset Formula $a=\lim_{n\to\infty}a_{n}$
\end_inset
.
Če zaporedje ima limito,
je konvergentno,
sicer je divergentno.
Točka
\begin_inset Formula $s\in\mathbb{R}^{k}$
\end_inset
je stekališče zaporedja
\begin_inset Formula $\left(a_{n}\right)_{n}$
\end_inset
s členi v
\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{k}$
\end_inset
,
če je v vsaki okolici
\begin_inset Formula $s$
\end_inset
neskončno členov
\begin_inset Formula $\left(a_{n}\right)_{n}$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Fact*
Velja:
\end_layout
\begin_deeper
\begin_layout Itemize
Vsako konvergentno zaporedje je omejeno in ima natanko eno limito,
ki je njegovo edino stekališče.
\end_layout
\begin_layout Itemize
Vsako omejeno zaporedje ima stekališče.
\end_layout
\begin_layout Itemize
Stekališče zaporedja je limita nekega podzaporedja in obratno.
\end_layout
\begin_layout Itemize
\begin_inset Formula $A\subset\mathbb{R}^{k}$
\end_inset
je zaprta
\begin_inset Formula $\Leftrightarrow$
\end_inset
vsako stekališče zaporedja s členi v
\begin_inset Formula $A$
\end_inset
leži v
\begin_inset Formula $A$
\end_inset
.
\end_layout
\end_deeper
\begin_layout Section
Funkcije več spremenljivk
\end_layout
\begin_layout Definition*
Naj bo
\begin_inset Formula $D\subseteq\mathbb{R}^{k}$
\end_inset
in
\begin_inset Formula $f:D\to\mathbb{R}$
\end_inset
preslikava.
Če je
\begin_inset Formula $k\geq2$
\end_inset
,
je
\begin_inset Formula $f$
\end_inset
funkcija več spremenljivk.
\begin_inset Formula $\Gamma_{f}=\left\{ \left(x,fx\right);x\in D\right\} \subset\mathbb{R}^{k}\times\mathbb{R}$
\end_inset
je graf funkcije
\begin_inset Formula $f$
\end_inset
.
Za
\begin_inset Formula $a\in\mathbb{R}^{k}$
\end_inset
stekališče
\begin_inset Formula $D$
\end_inset
je
\begin_inset Formula $L\in\mathbb{R}$
\end_inset
limita
\begin_inset Formula $f$
\end_inset
v
\begin_inset Formula $a$
\end_inset
,
če
\begin_inset Formula $\forall\varepsilon>0\exists\delta=\delta\left(a,\varepsilon\right)>0\forall x\in D,x\not=a:\left|\left|x-a\right|\right|<\delta\Rightarrow\left|fx-L\right|<\varepsilon$
\end_inset
in pišemo
\begin_inset Formula $\lim_{x\to a}fx=L$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Remark*
Medtem ko imamo pri funkcijah ene spremenljivke levo in desno limito,
je tu obnašanje bolj zapleteno,
saj obstaja veliko različnih načinov približevanja k
\begin_inset Formula $a$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Definition*
Naj bo
\begin_inset Formula $D\subseteq\mathbb{R}^{k}$
\end_inset
in
\begin_inset Formula $f:D\to\mathbb{R}$
\end_inset
funkcija in
\begin_inset Formula $a\in D$
\end_inset
.
\begin_inset Formula $f$
\end_inset
je zvezna v
\begin_inset Formula $a$
\end_inset
,
če
\begin_inset Formula $\forall\varepsilon>0\exists\delta=\delta\left(a,\varepsilon\right)>0\forall x\in D:\left|\left|x-a\right|\right|<\delta\Rightarrow\left|fx-fa\right|<\varepsilon$
\end_inset
.
\begin_inset Formula $f$
\end_inset
je zvezna,
če je zvezna na vsaki točki svojega definicijskega območja.
\end_layout
\begin_layout Remark*
Če je
\begin_inset Formula $a$
\end_inset
stekališče
\begin_inset Formula $D$
\end_inset
,
je
\begin_inset Formula $f$
\end_inset
zvezna v
\begin_inset Formula $a\Leftrightarrow\lim_{x\to a}fx=fa$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Corollary*
Če je
\begin_inset Formula $a$
\end_inset
izolirana točka
\begin_inset Formula $D$
\end_inset
,
je
\begin_inset Formula $f$
\end_inset
zvezna v
\begin_inset Formula $a$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Definition*
Naj bo
\begin_inset Formula $f:D\subseteq\mathbb{R}^{k}\to\mathbb{R}$
\end_inset
funkcija,
\begin_inset Formula $Z=fD$
\end_inset
njena zaloga vrednosti in
\begin_inset Formula $g:Z\to\mathbb{R}$
\end_inset
funkcija.
Kompozitum ali sestavljena funkcija
\begin_inset Formula $f$
\end_inset
in
\begin_inset Formula $g$
\end_inset
je funkcija
\begin_inset Formula $k$
\end_inset
spremenljivk
\begin_inset Formula $g\circ f:D\to\mathbb{R}$
\end_inset
,
definirana s predpisom
\begin_inset Formula $\left(g\circ f\right)x=gfx$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Theorem*
Naj bo
\begin_inset Formula $f$
\end_inset
funkcija
\begin_inset Formula $k$
\end_inset
spremenljivk,
zvezna v
\begin_inset Formula $a\in\mathbb{R}^{k}$
\end_inset
in
\begin_inset Formula $g$
\end_inset
funkcija ene spremenljivke,
zvezna v
\begin_inset Formula $fa\in\mathbb{R}$
\end_inset
.
Tedaj je
\begin_inset Formula $g\circ f$
\end_inset
zvezna v
\begin_inset Formula $a$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Proof
Izberimo poljuben
\begin_inset Formula $\varepsilon$
\end_inset
\end_layout
\end_body
\end_document